Dérivation du champ électrique à partir du potentiel

Le champ électrique a déjà été décrit en termes de force sur une charge. Si le potentiel électrique est connu en chaque point d’une région de l’espace, le champ électrique peut être dérivé du potentiel. Dans la notation du calcul vectoriel, le champ électrique est donné par le négatif du gradient du potentiel électrique, E = -grad V. Cette expression précise comment le champ électrique est calculé en un point donné. Comme le champ est un vecteur, il a à la fois une direction et une magnitude. La direction est celle dans laquelle le potentiel diminue le plus rapidement, en s’éloignant du point. La magnitude du champ est le changement de potentiel sur une petite distance dans la direction indiquée, divisé par cette distance.

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Pour se familiariser avec le potentiel électrique, une solution déterminée numériquement est présentée pour une configuration bidimensionnelle d’électrodes. Une longue tige conductrice circulaire est maintenue à un potentiel électrique de -20 volts. À côté de la tige, un long support en forme de L, également constitué d’un matériau conducteur, est maintenu à un potentiel de +20 volts. La tige et l’étrier sont tous deux placés à l’intérieur d’un long tube métallique creux de section carrée ; cette enceinte est au potentiel zéro (c’est-à-dire qu’elle est au potentiel de « masse »). La figure 6 montre la géométrie du problème. Comme la situation est statique, il n’y a pas de champ électrique à l’intérieur du matériau des conducteurs. S’il y avait un tel champ, les charges qui sont libres de se déplacer dans un matériau conducteur le feraient jusqu’à ce que l’équilibre soit atteint. Les charges sont disposées de manière à ce que leurs contributions individuelles au champ électrique en des points situés à l’intérieur du matériau conducteur soient égales à zéro. Dans une situation d’équilibre statique, les charges excédentaires sont situées à la surface des conducteurs. Comme il n’y a pas de champ électrique à l’intérieur du matériau conducteur, toutes les parties d’un conducteur donné sont au même potentiel ; par conséquent, un conducteur est un équipotentiel dans une situation statique.

configuration des électrodes

Figure 6 : Configuration des électrodes.

Courtoisie du département de physique et d’astronomie de l’université d’État du Michigan

Dans la figure 7, la solution numérique du problème donne le potentiel en un grand nombre de points à l’intérieur de la cavité. Les emplacements des électrodes de +20 volts et de -20 volts peuvent être reconnus facilement. Lors de la résolution numérique du problème électrostatique de la figure, le potentiel électrostatique a été déterminé directement au moyen d’une de ses propriétés importantes : dans une région où il n’y a pas de charge (dans ce cas, entre les conducteurs), la valeur du potentiel en un point donné est la moyenne des valeurs du potentiel au voisinage du point. Cela découle du fait que le potentiel électrostatique dans une région sans charge obéit à l’équation de Laplace, qui, en notation de calcul vectoriel, est div grad V = 0. Cette équation est un cas particulier de l’équation de Poisson div grad V = ρ, qui s’applique aux problèmes électrostatiques dans les régions où la densité de charge volumique est ρ. L’équation de Laplace stipule que la divergence du gradient du potentiel est nulle dans les régions de l’espace sans charge. Dans l’exemple de la figure 7, le potentiel sur les conducteurs reste constant. Des valeurs arbitraires de potentiel sont initialement attribuées ailleurs dans la cavité. Pour obtenir une solution, un ordinateur remplace le potentiel en chaque point de coordonnées qui n’est pas sur un conducteur par la moyenne des valeurs du potentiel autour de ce point ; il balaie l’ensemble des points plusieurs fois jusqu’à ce que les valeurs des potentiels diffèrent d’une quantité suffisamment faible pour indiquer une solution satisfaisante. Il est évident que plus le nombre de points est important, plus la solution sera précise. Cependant, le temps de calcul ainsi que la taille de la mémoire de l’ordinateur requise augmentent rapidement, en particulier pour les problèmes tridimensionnels à géométrie complexe. Cette méthode de résolution est appelée la méthode de « relaxation ».

solution numérique

Figure 7 : Solution numérique pour la configuration d’électrodes présentée à la figure 6. Les potentiels électrostatiques sont en volts (voir le texte).

Courtoisie du département de physique et d’astronomie, Michigan State University

Dans la figure 8, les points ayant la même valeur de potentiel électrique ont été reliés pour révéler un certain nombre de propriétés importantes associées aux conducteurs dans des situations statiques. Les lignes de la figure représentent des surfaces équipotentielles. La distance entre deux surfaces équipotentielles indique la vitesse à laquelle le potentiel change, les plus petites distances correspondant à l’endroit où le taux de changement est le plus élevé et donc aux plus grandes valeurs du champ électrique. En observant les surfaces équipotentielles de +20 volts et de +15 volts, on constate immédiatement qu’elles sont les plus proches l’une de l’autre au niveau des angles externes aigus du conducteur à angle droit. Cela montre que les champs électriques les plus forts à la surface d’un conducteur chargé se trouvent sur les parties externes les plus pointues du conducteur ; c’est là que les ruptures électriques sont les plus susceptibles de se produire. Il faut également noter que le champ électrique est le plus faible dans les coins intérieurs, aussi bien sur le coin intérieur de la pièce à angle droit que sur les coins intérieurs de l’enceinte carrée.

Surface équipotentielle

Figure 8 : Surfaces équipotentielles.

Avec l’aimable autorisation du département de physique et d’astronomie de l’université d’État du Michigan

Dans la figure 9, les lignes pointillées indiquent la direction du champ électrique. L’intensité du champ est reflétée par la densité de ces lignes pointillées. Encore une fois, on peut voir que le champ est le plus fort sur les coins extérieurs du conducteur en forme de L chargé ; la plus grande densité de charge de surface doit se produire à ces endroits. Le champ est plus faible dans les coins intérieurs. Les signes des charges sur les surfaces conductrices peuvent être déduits du fait que les champs électriques s’éloignent des charges positives et se dirigent vers les charges négatives. La magnitude de la densité de charge superficielle σ sur les conducteurs est mesurée en coulombs par mètre carré et est donnée paroù ε0 est appelée la permittivité de l’espace libre et a la valeur de 8,854 × 10-12 coulomb carré par newton-mètre carré. En outre, ε0 est lié à la constante k de la loi de Coulomb par

lignes de champ électrique

Figure 9 : Lignes de champ électrique. La densité des lignes pointillées indique l’intensité du champ (voir texte).

Avec l’aimable autorisation du département de physique et d’astronomie de l’université d’État du Michigan

La figure 9 illustre également une propriété importante d’un champ électrique en situation statique : les lignes de champ sont toujours perpendiculaires aux surfaces équipotentielles. Les lignes de champ rencontrent les surfaces des conducteurs à angle droit, puisque ces surfaces sont également équipotentielles. La figure 10 complète cet exemple en montrant le paysage de l’énergie potentielle d’une petite charge positive q dans la région. À partir de la variation de l’énergie potentielle, il est facile d’imaginer comment les forces électriques tendent à faire passer la charge positive q d’un potentiel plus élevé à un potentiel plus faible, c’est-à-dire du support en forme de L à +20 volts vers l’enceinte de forme carrée à la terre (0 volt) ou vers la tige cylindrique maintenue à un potentiel de -20 volts. Il permet également de visualiser graphiquement l’intensité de la force près des angles aigus des électrodes conductrices.

énergie potentielle

Figure 10 : énergie potentielle pour une charge positive (voir texte).

Avec l’aimable autorisation du département de physique et d’astronomie de l’université d’État du Michigan

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