Udledning af elektrisk felt fra potentiale

Det elektriske felt er allerede blevet beskrevet i form af kraften på en ladning. Hvis det elektriske potentiale er kendt i hvert punkt i et område af rummet, kan det elektriske felt udledes af potentialet. I vektorregningsnotation er det elektriske felt givet ved det negative af gradienten af det elektriske potentiale, E = -grad V. Dette udtryk angiver, hvordan det elektriske felt beregnes i et givet punkt. Da feltet er en vektor, har det både en retning og en størrelse. Retningen er den retning, hvor potentialet aftager hurtigst, idet det bevæger sig væk fra punktet. Størrelsen af feltet er ændringen i potentialet over en lille afstand i den angivne retning divideret med denne afstand.

Britannica Quiz
Elektricitet: Kortvarige kredsløb & Jævnstrømme
Hvad er forskellen mellem en elektrisk leder og en isolator? Hvem opfandt batteriet? Mærk dine celler brænde, mens du genoplader dit mentale batteri ved at besvare spørgsmålene i denne quiz.

For at blive mere fortrolig med det elektriske potentiale præsenteres en numerisk bestemt løsning for en to-dimensionel konfiguration af elektroder. En lang, cirkulær, ledende stang holdes på et elektrisk potentiale på -20 volt. Ved siden af stangen holdes en lang L-formet bøjle, der også er fremstillet af et ledende materiale, på et potentiale på +20 volt. Både stang og beslag er anbragt inde i et langt, hult metalrør med firkantet tværsnit; denne indkapsling er på et nulpotentiale (dvs. på “jord”-potentiale). Figur 6 viser problemets geometri. Da situationen er statisk, er der intet elektrisk felt inden for ledernes materiale. Hvis der var et sådant felt, ville de ladninger, der er frie til at bevæge sig i et ledende materiale, gøre det, indtil der er opnået ligevægt. Ladningerne er anbragt således, at deres individuelle bidrag til det elektriske felt i punkterne inde i det ledende materiale summerer til nul. I en situation med statisk ligevægt befinder de overskydende ladninger sig på overfladen af de ledende stoffer. Da der ikke er nogen elektriske felter inde i det ledende materiale, er alle dele af en given leder på samme potentiale; derfor er en leder en equipotentiel i en statisk situation.

elektrodekonfiguration

Figur 6: Elektrodekonfiguration.

Med venlig hilsen af Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

I figur 7 giver den numeriske løsning af problemet potentialet på et stort antal punkter inde i hulrummet. Placeringen af +20-volt- og -20-volt-elektroderne kan let genkendes. Ved udførelsen af den numeriske løsning af det elektrostatiske problem i figuren blev det elektrostatiske potentiale bestemt direkte ved hjælp af en af dets vigtige egenskaber: i et område, hvor der ikke er nogen ladning (i dette tilfælde mellem lederne), er værdien af potentialet i et givet punkt gennemsnittet af værdierne af potentialet i nærheden af punktet. Dette følger af, at det elektrostatiske potentiale i et område uden ladninger adlyder Laplaces ligning, som i vektorregning er div grad V = 0. Denne ligning er et specialtilfælde af Poissons ligning div grad V = ρ, som gælder for elektrostatiske problemer i områder, hvor volumenladningstætheden er ρ. Laplaces ligning siger, at divergensen af potentialets gradient er nul i områder af rummet uden ladninger. I eksemplet i figur 7 forbliver potentialet på lederne konstant. Der tildeles i begyndelsen vilkårlige værdier af potentialet andre steder i hulrummet. For at opnå en løsning erstatter en computer potentialet i hvert koordinatpunkt, der ikke ligger på en leder, med gennemsnittet af potentialværdierne omkring det pågældende punkt; den gennemgår hele punktsættet mange gange, indtil potentialværdierne afviger så meget fra hinanden, at de er små nok til at indikere en tilfredsstillende løsning. Det er klart, at jo større antallet af punkter er, jo mere nøjagtig vil løsningen være. Både beregningstiden og kravet til computerens hukommelse stiger imidlertid hurtigt, især ved tredimensionelle problemer med kompleks geometri. Denne løsningsmetode kaldes “afslapningsmetoden”.

numerisk løsning

Figur 7: Numerisk løsning for elektrodekonfigurationen vist i figur 6. De elektrostatiske potentialer er i volt (se tekst).

Med venlig hilsen af Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

I figur 8 er punkter med samme værdi af det elektriske potentiale blevet forbundet for at afsløre en række vigtige egenskaber, der er forbundet med ledere i statiske situationer. Linjerne i figuren repræsenterer equipotentialflader. Afstanden mellem to ækquipotentialeflader fortæller, hvor hurtigt potentialet ændrer sig, idet de mindste afstande svarer til stedet med den største ændringshastighed og dermed til de største værdier af det elektriske felt. Når man ser på de equipotentielle overflader på +20 volt og +15 volt, bemærker man straks, at de er tættest på hinanden ved de skarpe ydre hjørner af den retvinklede leder. Dette viser, at de stærkeste elektriske felter på overfladen af en ladet leder findes på de skarpeste ydre dele af lederen; der er størst sandsynlighed for, at der opstår elektriske sammenbrud der. Det skal også bemærkes, at det elektriske felt er svagest i de indvendige hjørner, både på det indvendige hjørne af det retvinklede stykke og på de indvendige hjørner af den firkantede indkapsling.

equipotentialflade

Figur 8: Equipotentialflader.

Med venlig hilsen af Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

I figur 9 angiver de stiplede linjer det elektriske felts retning. Styrken af feltet afspejles af tætheden af disse stiplede linjer. Igen kan det ses, at feltet er stærkest på de ydre hjørner af den ladede L-formede leder; den største overfladeladningstæthed må forekomme på disse steder. Feltet er svagest i de indvendige hjørner. Ladningernes tegn på de ledende overflader kan udledes af det faktum, at elektriske felter peger væk fra positive ladninger og hen imod negative ladninger. Størrelsen af overfladeladningstætheden σ på lederne måles i coulombs pr. kvadratmeter og er givet vedhvor ε0 kaldes det frie rums permittivitet og har værdien 8,854 × 10-12 coulomb i kvadrat pr. newton-kvadratmeter. Desuden er ε0 relateret til konstanten k i Coulombs lov ved

elektriske feltlinjer

Figur 9: Elektriske feltlinjer. Tætheden af de stiplede linjer angiver feltets styrke (se tekst).

Med venlig hilsen af Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

Figur 9 illustrerer også en vigtig egenskab ved et elektrisk felt i statiske situationer: feltlinjer er altid vinkelrette på equipotentielle overflader. Feltlinjerne møder ledernes overflader vinkelret på hinanden, da disse overflader også er equipotentielle. Figur 10 supplerer dette eksempel ved at vise det potentielle energilandskab for en lille positiv ladning q i området. Ud fra variationen i den potentielle energi er det let at forestille sig, hvordan de elektriske kræfter har tendens til at drive den positive ladning q fra et højere til et lavere potentiale – dvs. fra den L-formede bøjle på +20 volt mod det firkantede kabinet ved jord (0 volt) eller mod den cylindriske stang, der holdes på et potentiale på -20 volt. Den viser også grafisk styrken af kraften nær de skarpe hjørner af ledende elektroder.

potentialeenergi

Figur 10: Potentialeenergi for en positiv ladning (se tekst).

Med venlig hilsen af Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.