Ableitung des elektrischen Feldes aus dem Potential

Das elektrische Feld wurde bereits anhand der Kraft auf eine Ladung beschrieben. Wenn das elektrische Potential an jedem Punkt eines Raumes bekannt ist, kann das elektrische Feld aus dem Potential abgeleitet werden. In der Notation der Vektorrechnung ist das elektrische Feld durch den negativen Wert der Steigung des elektrischen Potenzials gegeben, E = -grad V. Dieser Ausdruck gibt an, wie das elektrische Feld an einem bestimmten Punkt berechnet wird. Da das Feld ein Vektor ist, hat es sowohl eine Richtung als auch einen Betrag. Die Richtung ist diejenige, in der das Potenzial am schnellsten abnimmt und sich vom Punkt wegbewegt. Der Betrag des Feldes ist die Änderung des Potentials über eine kleine Strecke in der angegebenen Richtung geteilt durch diese Strecke.

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Um mit dem elektrischen Potential vertrauter zu werden, wird eine numerisch ermittelte Lösung für eine zweidimensionale Konfiguration von Elektroden vorgestellt. Ein langer, kreisförmiger leitender Stab wird auf einem elektrischen Potential von -20 Volt gehalten. Neben dem Stab wird ein langer L-förmiger Bügel, der ebenfalls aus leitendem Material besteht, auf einem Potential von +20 Volt gehalten. Sowohl der Stab als auch der Bügel befinden sich im Inneren eines langen, hohlen Metallrohrs mit quadratischem Querschnitt; dieses Gehäuse liegt auf einem Potential von Null (d. h. es liegt auf „Erdpotential“). Abbildung 6 zeigt die Geometrie des Problems. Da die Situation statisch ist, gibt es kein elektrisches Feld innerhalb des Materials der Leiter. Gäbe es ein solches Feld, würden sich die Ladungen, die sich in einem leitenden Material frei bewegen können, so lange bewegen, bis ein Gleichgewicht erreicht ist. Die Ladungen sind so angeordnet, dass sich ihre individuellen Beiträge zum elektrischen Feld an Punkten innerhalb des leitenden Materials zu Null addieren. Im statischen Gleichgewicht befinden sich die überschüssigen Ladungen an der Oberfläche von Leitern. Da es im Inneren des leitenden Materials keine elektrischen Felder gibt, befinden sich alle Teile eines Leiters auf dem gleichen Potential; daher ist ein Leiter in einer statischen Situation ein Äquipotential.

Elektrodenkonfiguration

Abbildung 6: Elektrodenkonfiguration.

Mit freundlicher Genehmigung des Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

In Abbildung 7 zeigt die numerische Lösung des Problems das Potential an einer großen Anzahl von Punkten innerhalb des Hohlraums. Die Positionen der +20-Volt- und -20-Volt-Elektroden sind leicht zu erkennen. Bei der numerischen Lösung des elektrostatischen Problems in der Abbildung wurde das elektrostatische Potenzial direkt mit Hilfe einer seiner wichtigsten Eigenschaften bestimmt: In einem Bereich, in dem keine Ladung vorhanden ist (in diesem Fall zwischen den Leitern), ist der Wert des Potenzials an einem bestimmten Punkt der Durchschnitt der Potenzialwerte in der Umgebung des Punktes. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass das elektrostatische Potenzial in einem ladungsfreien Gebiet der Laplace-Gleichung gehorcht, die in der Notation der Vektorrechnung div grad V = 0 lautet. Diese Gleichung ist ein Spezialfall der Poisson-Gleichung div grad V = ρ, die für elektrostatische Probleme in Gebieten gilt, in denen die Volumenladungsdichte ρ beträgt. Die Laplace-Gleichung besagt, dass die Divergenz der Steigung des Potenzials in ladungsfreien Gebieten des Raums null ist. In dem Beispiel von Abbildung 7 bleibt das Potenzial auf den Leitern konstant. Andernorts im Hohlraum werden zunächst beliebige Potenzialwerte zugewiesen. Um eine Lösung zu erhalten, ersetzt ein Computer das Potenzial an jedem Koordinatenpunkt, der nicht auf einem Leiter liegt, durch den Mittelwert der Potenziale in der Umgebung dieses Punktes; er tastet die gesamte Menge der Punkte so oft ab, bis die Werte der Potenziale um einen Betrag abweichen, der klein genug ist, um eine zufriedenstellende Lösung anzuzeigen. Es ist klar, dass die Lösung umso genauer ist, je größer die Anzahl der Punkte ist. Die Berechnungszeit und der Speicherbedarf des Computers steigen jedoch schnell an, insbesondere bei dreidimensionalen Problemen mit komplexer Geometrie. Diese Lösungsmethode wird als „Relaxationsmethode“ bezeichnet.

Numerische Lösung

Abbildung 7: Numerische Lösung für die in Abbildung 6 dargestellte Elektrodenkonfiguration. Die elektrostatischen Potentiale sind in Volt angegeben (siehe Text).

Mit freundlicher Genehmigung des Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

In Abbildung 8 wurden Punkte mit demselben Wert des elektrischen Potentials verbunden, um eine Reihe wichtiger Eigenschaften von Leitern in statischen Situationen zu zeigen. Die Linien in der Abbildung stellen Äquipotentialflächen dar. Der Abstand zwischen zwei Äquipotentialflächen gibt an, wie schnell sich das Potential ändert, wobei die kleinsten Abstände den Orten mit der größten Änderungsrate und damit den größten Werten des elektrischen Feldes entsprechen. Betrachtet man die Äquipotentialflächen +20 Volt und +15 Volt, so fällt sofort auf, dass sie an den scharfen Außenecken des rechtwinkligen Leiters am nächsten beieinander liegen. Dies zeigt, dass die stärksten elektrischen Felder auf der Oberfläche eines geladenen Leiters an den schärfsten äußeren Teilen des Leiters zu finden sind; elektrische Durchschläge sind dort am ehesten zu erwarten. Es ist auch zu beachten, dass das elektrische Feld an den Innenecken am schwächsten ist, sowohl an der Innenecke des rechtwinkligen Stücks als auch an den Innenecken des quadratischen Gehäuses.

Equipotentialfläche

Abbildung 8: Equipotentialflächen.

Mit freundlicher Genehmigung des Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

In Abbildung 9 zeigen gestrichelte Linien die Richtung des elektrischen Feldes. Die Stärke des Feldes wird durch die Dichte dieser gestrichelten Linien wiedergegeben. Auch hier ist zu erkennen, dass das Feld an den äußeren Ecken des geladenen L-förmigen Leiters am stärksten ist; an diesen Stellen muss die größte Oberflächenladungsdichte auftreten. An den Innenecken ist das Feld am schwächsten. Die Vorzeichen der Ladungen auf den Leiteroberflächen lassen sich aus der Tatsache ableiten, dass elektrische Felder von positiven Ladungen weg und zu negativen Ladungen hin zeigen. Die Größe der Oberflächenladungsdichte σ auf den Leitern wird in Coulomb pro Quadratmeter gemessen und ist gegeben durchwobei ε0 die Dielektrizitätskonstante des freien Raums genannt wird und den Wert 8,854 × 10-12 Coulomb zum Quadrat pro Newton-Quadratmeter hat. Außerdem ist ε0 mit der Konstante k im Coulomb-Gesetz verbunden durch

elektrische Feldlinien

Abbildung 9: Elektrische Feldlinien. Die Dichte der gestrichelten Linien gibt die Stärke des Feldes an (siehe Text).

Mit freundlicher Genehmigung des Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

Abbildung 9 veranschaulicht auch eine wichtige Eigenschaft eines elektrischen Feldes in statischen Situationen: Feldlinien verlaufen immer senkrecht zu Äquipotentialflächen. Die Feldlinien treffen die Oberflächen der Leiter im rechten Winkel, da diese Oberflächen ebenfalls Äquipotentiale sind. Abbildung 10 vervollständigt dieses Beispiel, indem sie die potentielle Energielandschaft einer kleinen positiven Ladung q in der Region zeigt. Anhand der Variation der potenziellen Energie kann man sich leicht vorstellen, wie elektrische Kräfte dazu neigen, die positive Ladung q von einem höheren zu einem niedrigeren Potenzial zu treiben, d. h. von der L-förmigen Klammer mit +20 Volt zu dem quadratischen Gehäuse auf Masse (0 Volt) oder zu dem zylindrischen Stab, der auf einem Potenzial von -20 Volt gehalten wird. Es zeigt auch grafisch die Stärke der Kraft in der Nähe der scharfen Ecken der leitenden Elektroden.

Potentialenergie

Abbildung 10: Potentielle Energie für eine positive Ladung (siehe Text).

Mit freundlicher Genehmigung des Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

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