Derivación del campo eléctrico a partir del potencial

El campo eléctrico ya se ha descrito en términos de la fuerza sobre una carga. Si se conoce el potencial eléctrico en cada punto de una región del espacio, se puede derivar el campo eléctrico a partir del potencial. En notación de cálculo vectorial, el campo eléctrico viene dado por el negativo del gradiente del potencial eléctrico, E = -grad V. Esta expresión especifica cómo se calcula el campo eléctrico en un punto determinado. Como el campo es un vector, tiene dirección y magnitud. La dirección es aquella en la que el potencial disminuye más rápidamente, alejándose del punto. La magnitud del campo es el cambio de potencial a través de una pequeña distancia en la dirección indicada, dividido por esa distancia.

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Para familiarizarse con el potencial eléctrico, se presenta una solución determinada numéricamente para una configuración bidimensional de electrodos. Una varilla conductora larga y circular se mantiene a un potencial eléctrico de -20 voltios. Junto a la varilla, un soporte largo en forma de L, también de material conductor, se mantiene a un potencial de +20 voltios. Tanto la varilla como el soporte están colocados dentro de un tubo metálico largo y hueco de sección cuadrada; este recinto está a un potencial de cero (es decir, está a potencial de «tierra»). La figura 6 muestra la geometría del problema. Como la situación es estática, no hay campo eléctrico en el interior del material de los conductores. Si existiera tal campo, las cargas que son libres de moverse en un material conductor lo harían hasta alcanzar el equilibrio. Las cargas están dispuestas de forma que sus contribuciones individuales al campo eléctrico en puntos del interior del material conductor suman cero. En una situación de equilibrio estático, el exceso de cargas se encuentra en la superficie de los conductores. Como no hay campos eléctricos en el interior del material conductor, todas las partes de un conductor dado están al mismo potencial; por lo tanto, un conductor es un equipotencial en una situación estática.

configuración de electrodos

Figura 6: Configuración de electrodos.

Cortesía del Departamento de Física y Astronomía de la Universidad Estatal de Michigan

En la figura 7, la solución numérica del problema da el potencial en un gran número de puntos dentro de la cavidad. Las ubicaciones de los electrodos de +20 voltios y -20 voltios pueden reconocerse fácilmente. Al realizar la solución numérica del problema electrostático de la figura, el potencial electrostático se determinó directamente mediante una de sus propiedades importantes: en una región donde no hay carga (en este caso, entre los conductores), el valor del potencial en un punto dado es la media de los valores del potencial en la vecindad del punto. Esto se deduce del hecho de que el potencial electrostático en una región sin carga obedece a la ecuación de Laplace, que en notación de cálculo vectorial es div grad V = 0. Esta ecuación es un caso especial de la ecuación de Poisson div grad V = ρ, que es aplicable a los problemas electrostáticos en regiones donde la densidad de carga volumétrica es ρ. La ecuación de Laplace establece que la divergencia del gradiente del potencial es nula en las regiones del espacio sin carga. En el ejemplo de la figura 7, el potencial en los conductores permanece constante. Inicialmente se asignan valores arbitrarios de potencial en otros lugares del interior de la cavidad. Para obtener una solución, un ordenador sustituye el potencial en cada punto de coordenadas que no está en un conductor por la media de los valores del potencial alrededor de ese punto; recorre todo el conjunto de puntos muchas veces hasta que los valores de los potenciales difieren en una cantidad lo suficientemente pequeña como para indicar una solución satisfactoria. Evidentemente, cuanto mayor sea el número de puntos, más precisa será la solución. Sin embargo, el tiempo de cálculo y el tamaño de la memoria del ordenador aumentan rápidamente, especialmente en problemas tridimensionales con geometría compleja. Este método de solución se denomina método de «relajación».

Solución numérica

Figura 7: Solución numérica para la configuración de electrodos mostrada en la Figura 6. Los potenciales electrostáticos están en voltios (véase el texto).

Por cortesía del Departamento de Física y Astronomía de la Universidad Estatal de Michigan

En la figura 8, se han conectado puntos con el mismo valor de potencial eléctrico para revelar una serie de propiedades importantes asociadas a los conductores en situaciones estáticas. Las líneas de la figura representan superficies equipotenciales. La distancia entre dos superficies equipotenciales indica la rapidez con la que cambia el potencial, y las distancias más pequeñas corresponden a la ubicación de la mayor tasa de cambio y, por tanto, a los mayores valores del campo eléctrico. Si se observan las superficies equipotenciales de +20 voltios y +15 voltios, se ve inmediatamente que están más cerca una de otra en las esquinas exteriores afiladas del conductor en ángulo recto. Esto demuestra que los campos eléctricos más fuertes en la superficie de un conductor cargado se encuentran en las partes externas más afiladas del conductor; es más probable que se produzcan averías eléctricas allí. También hay que señalar que el campo eléctrico es más débil en las esquinas interiores, tanto en la esquina interior de la pieza en ángulo recto como en las esquinas interiores del recinto cuadrado.

Superficie equipotencial

Figura 8: Superficies equipotenciales.

Cortesía del Departamento de Física y Astronomía de la Universidad Estatal de Michigan

En la Figura 9, las líneas discontinuas indican la dirección del campo eléctrico. La fuerza del campo se refleja en la densidad de estas líneas discontinuas. Una vez más, se puede ver que el campo es más fuerte en las esquinas exteriores del conductor cargado en forma de L; la mayor densidad de carga superficial debe ocurrir en esos lugares. El campo es más débil en las esquinas interiores. Los signos de las cargas en las superficies conductoras pueden deducirse del hecho de que los campos eléctricos apuntan lejos de las cargas positivas y hacia las negativas. La magnitud de la densidad de carga superficial σ en los conductores se mide en culombios por metro cuadrado y viene dada por donde ε0 se denomina permitividad del espacio libre y tiene el valor de 8,854 × 10-12 culombios al cuadrado por metro newton cuadrado. Además, ε0 está relacionada con la constante k de la ley de Coulomb mediante

líneas de campo eléctrico

Figura 9: Líneas de campo eléctrico. La densidad de las líneas discontinuas indica la intensidad del campo (ver texto).

Cortesía del Departamento de Física y Astronomía de la Universidad Estatal de Michigan

La figura 9 también ilustra una importante propiedad de un campo eléctrico en situaciones estáticas: las líneas de campo son siempre perpendiculares a las superficies equipotenciales. Las líneas de campo se encuentran con las superficies de los conductores en ángulo recto, ya que estas superficies también son equipotenciales. La figura 10 completa este ejemplo mostrando el paisaje de energía potencial de una pequeña carga positiva q en la región. A partir de la variación de la energía potencial, es fácil imaginar cómo las fuerzas eléctricas tienden a conducir la carga positiva q de un potencial más alto a uno más bajo, es decir, desde el soporte en forma de L a +20 voltios hacia el recinto cuadrado a tierra (0 voltios) o hacia la varilla cilíndrica mantenida a un potencial de -20 voltios. También muestra gráficamente la fuerza cerca de las esquinas afiladas de los electrodos conductores.

energía potencial

Figura 10: Energía potencial para una carga positiva (ver texto).

Cortesía del Departamento de Física y Astronomía de la Universidad Estatal de Michigan

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