Sähkökentän johtaminen potentiaalista

Sähkökenttä on jo kuvattu varaukseen kohdistuvan voiman avulla. Jos sähköpotentiaali tunnetaan avaruusalueen jokaisessa pisteessä, sähkökenttä voidaan johtaa potentiaalista. Vektorilaskennan notaatiossa sähkökenttä saadaan sähköpotentiaalin gradientin negatiivisena, E = -grad V. Tämä lauseke määrittää, miten sähkökenttä lasketaan tietyssä pisteessä. Koska kenttä on vektori, sillä on sekä suunta että suuruus. Suunta on se, jossa potentiaali pienenee nopeimmin, pisteestä poispäin. Kentän suuruus on potentiaalin muutos pienellä etäisyydellä ilmoitetussa suunnassa jaettuna tällä etäisyydellä.

Britannica Quiz
Sähkö: Short Circuits & Direct Currents
Mitä eroa on sähköjohtimella ja eristeellä? Kuka keksi pariston? Tunne solujesi palavan, kun lataat henkistä akkuasi vastaamalla tämän tietokilpailun kysymyksiin.

Sähköpotentiaalin tuntemuksen lisäämiseksi esitetään numeerisesti määritetty ratkaisu kaksiulotteiselle elektrodien kokoonpanolle. Pitkä, pyöreä, johtava sauva pidetään -20 voltin sähköpotentiaalissa. Sauvan vieressä on pitkä L-kirjaimen muotoinen kiinnike, joka on myös valmistettu johtavasta materiaalista ja jota pidetään +20 voltin potentiaalissa. Sekä sauva että kiinnike on sijoitettu pitkän, onton ja poikkileikkaukseltaan neliönmuotoisen metalliputken sisälle; tämä kotelo on nollapotentiaalissa (eli se on ”maa”-potentiaalissa). Kuvassa 6 esitetään ongelman geometria. Koska tilanne on staattinen, johtimien materiaalin sisällä ei ole sähkökenttää. Jos tällainen kenttä olisi olemassa, varaukset, jotka voivat vapaasti liikkua johtavassa materiaalissa, liikkuisivat niin kauan, kunnes tasapaino olisi saavutettu. Varaukset on järjestetty siten, että niiden yksittäiset osuudet sähkökenttään johtavan materiaalin sisällä olevissa pisteissä ovat yhteensä nolla. Staattisessa tasapainotilanteessa ylimääräiset varaukset sijaitsevat johtimien pinnalla. Koska johtavan materiaalin sisällä ei ole sähkökenttiä, tietyn johtimen kaikki osat ovat samassa potentiaalissa; näin ollen johdin on staattisessa tilanteessa ekvipotentiaalinen.

elektrodien konfiguraatio

Kuva 6: Elektrodien konfiguraatio.

Courtesy of the Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

Kuvassa 7 ongelman numeerinen ratkaisu antaa potentiaalin suuressa määrässä pisteitä ontelon sisällä. +20 voltin ja -20 voltin elektrodien paikat ovat helposti tunnistettavissa. Kuvan sähköstaattisen ongelman numeerista ratkaisua tehtäessä sähköstaattinen potentiaali määritettiin suoraan yhden sen tärkeän ominaisuuden avulla: alueella, jossa ei ole varausta (tässä tapauksessa johtimien välissä), potentiaalin arvo tietyssä pisteessä on potentiaalin arvojen keskiarvo pisteen läheisyydessä. Tämä seuraa siitä, että sähköstaattinen potentiaali varauksettomalla alueella noudattaa Laplacen yhtälöä, joka vektorilaskennassa on div grad V = 0. Tämä yhtälö on erikoistapaus Poissonin yhtälöstä div grad V = ρ, jota sovelletaan sähköstaattisiin ongelmiin alueilla, joilla tilavaraustiheys on ρ. Laplacen yhtälön mukaan potentiaalin gradientin divergenssi on nolla varauksettomilla alueilla. Kuvan 7 esimerkissä johtimien potentiaali pysyy vakiona. Potentiaalille annetaan aluksi mielivaltaisia arvoja muualla ontelon sisällä. Ratkaisun saamiseksi tietokone korvaa potentiaalin jokaisessa koordinaattipisteessä, joka ei ole johtimessa, potentiaalin arvojen keskiarvolla kyseisen pisteen ympärillä; se skannaa koko pistejoukon useita kertoja, kunnes potentiaalien arvot eroavat toisistaan riittävän pienellä määrällä tyydyttävän ratkaisun osoittamiseksi. On selvää, että mitä suurempi on pisteiden määrä, sitä tarkempi ratkaisu on. Laskenta-aika ja tietokoneen muistin tarve kasvavat kuitenkin nopeasti, erityisesti kolmiulotteisissa ongelmissa, joiden geometria on monimutkainen. Tätä ratkaisumenetelmää kutsutaan ”relaksaatiomenetelmäksi”.

numeerinen ratkaisu

Kuva 7: Numeerinen ratkaisu kuvassa 6 esitetylle elektrodikokoonpanolle. Sähköstaattiset potentiaalit ovat voltteina (ks. teksti).

Courtesy of the Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

Kuvassa 8 on yhdistetty pisteitä, joilla on sama sähköpotentiaalin arvo, jotta saadaan selville joukko tärkeitä ominaisuuksia, jotka liittyvät johtimiin staattisissa tilanteissa. Kuvassa olevat viivat edustavat ekvipotentiaalipintoja. Kahden ekvipotentiaalipinnan välinen etäisyys kertoo, kuinka nopeasti potentiaali muuttuu, ja pienimmät etäisyydet vastaavat suurimman muutosnopeuden sijaintia ja siten suurimpia sähkökentän arvoja. Kun tarkastellaan +20 voltin ja +15 voltin ekvipotentiaalipintoja, huomataan heti, että ne ovat lähimpänä toisiaan suorakulmaisen johtimen terävissä ulkokulmissa. Tämä osoittaa, että voimakkaimmat sähkökentät varautuneen johtimen pinnalla sijaitsevat johtimen terävimmissä ulkokohdissa; sähkökatkokset tapahtuvat todennäköisimmin siellä. On myös huomattava, että sähkökenttä on heikoin sisäkulmissa, sekä suorakulmaisen kappaleen sisäkulmassa että neliönmuotoisen kotelon sisäkulmissa.

ekvipotentiaalipinta

Kuva 8: Ekvipotentiaalipinnat.

Courtesy of the Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

Kuvassa 9 katkoviivat osoittavat sähkökentän suunnan. Kentän voimakkuus näkyy näiden katkoviivojen tiheydestä. Jälleen voidaan nähdä, että kenttä on voimakkain varautuneen L-muotoisen johtimen ulkokulmissa; suurimman pintavaraustiheyden täytyy esiintyä näissä kohdissa. Kenttä on heikoin sisäkulmissa. Johtavien pintojen varausten merkit voidaan päätellä siitä, että sähkökentät osoittavat poispäin positiivisista varauksista ja kohti negatiivisia varauksia. Johtimien pinnan varaustiheyden σ suuruus mitataan coulombeina neliömetriä kohti, ja se saadaan luvulla, jossa ε0 on vapaan tilan permittiivisyys ja sen arvo on 8,854 × 10-12 coulombia neliömetriä kohti newtonin neliömetriä kohti. Lisäksi ε0 liittyy Coulombin laissa olevaan vakioon k seuraavasti

sähkökenttälinjat

Kuva 9: Sähkökenttälinjat. Katkoviivojen tiheys osoittaa kentän voimakkuuden (ks. teksti).

Courtesy of the Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

Kuva 9 havainnollistaa myös sähkökentän tärkeää ominaisuutta staattisissa tilanteissa: kenttäviivat ovat aina kohtisuorassa ekvipotentiaalipintoja vastaan. Kenttälinjat kohtaavat johtimien pinnat suorassa kulmassa, koska myös nämä pinnat ovat ekvipotentiaalisia. Kuva 10 täydentää esimerkkiä esittämällä pienen positiivisen varauksen q potentiaalienergiamaiseman alueella. Potentiaalienergian vaihtelusta on helppo hahmottaa, miten sähköiset voimat pyrkivät ajamaan positiivista varausta q korkeammasta potentiaalista matalampaan potentiaaliin – eli L:n muotoisesta kannattimesta, jonka jännite on +20 volttia, kohti neliönmuotoista koteloa, jonka jännite on maanpinnalla (0 volttia), tai kohti sylinterinmuotoista sauvaa, jonka jännite pysyy -20 voltin potentiaalissa. Se näyttää myös graafisesti voiman voimakkuuden johtavien elektrodien terävien kulmien lähellä.

potentiaalienergia

Kuva 10: Positiivisen varauksen potentiaalienergia (ks. teksti).

Kohteliaisuus: Michiganin osavaltionyliopiston fysiikan ja tähtitieteen laitos

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista.