Az elektromos mező levezetése a potenciálból

Az elektromos mezőt már leírtuk a töltésre ható erő szempontjából. Ha az elektromos potenciál a tér egy területének minden pontján ismert, akkor az elektromos mező levezethető a potenciálból. Vektorszámításos jelöléssel az elektromos mezőt az elektromos potenciál gradiensének negatívja adja, E = -grad V. Ez a kifejezés megadja, hogyan számítjuk ki az elektromos mezőt egy adott pontban. Mivel a mező vektor, iránya és nagysága is van. Az irány az, amelyik irányban a potenciál a leggyorsabban csökken, a ponttól távolodva. A mező nagysága a potenciál változását jelenti egy kis távolságon keresztül a megadott irányban, osztva ezzel a távolsággal.

Britannica Kvíz
Elektromosság: Rövidzárlatok & Egyenáram
Mi a különbség az elektromos vezető és a szigetelő között? Ki találta fel az akkumulátort? Érezd, hogy égnek a sejtjeid, miközben a kvíz kérdéseire válaszolva feltöltöd a szellemi akkumulátorodat.

Az elektromos potenciál jobb megismeréséhez egy numerikusan meghatározott megoldást mutatunk be egy kétdimenziós elektróda-konfigurációra. Egy hosszú, kör alakú, vezető rudat -20 voltos elektromos potenciálon tartunk. A rúd mellett egy hosszú, L alakú, szintén vezető anyagból készült konzolt tartunk +20 voltos potenciálon. Mind a rúd, mind a konzol egy hosszú, üreges, négyzet keresztmetszetű fémcső belsejében van elhelyezve; ez a burkolat nulla potenciálon van (azaz “földpotenciálon”). A 6. ábra mutatja a probléma geometriáját. Mivel a helyzet statikus, a vezetők anyagában nincs elektromos tér. Ha lenne ilyen tér, akkor a vezető anyagban szabadon mozgó töltések addig mozognának, amíg el nem érik az egyensúlyi állapotot. A töltések úgy helyezkednek el, hogy a vezető anyag belsejében lévő pontokban az elektromos mezőhöz való egyedi hozzájárulásuk összege nulla legyen. Statikus egyensúlyi helyzetben a felesleges töltések a vezetők felületén helyezkednek el. Mivel a vezető anyag belsejében nincsenek elektromos terek, egy adott vezető minden része azonos potenciálon van; ezért a vezető statikus helyzetben ekvipotenciális.

elektródelrendezés

6. ábra: Elektródelrendezés.

A Michigani Állami Egyetem Fizikai és Csillagászati Tanszékének jóvoltából

A 7. ábrán a feladat numerikus megoldása adja meg a potenciált az üreg belsejében lévő számos ponton. A +20 voltos és -20 voltos elektródák helyei könnyen felismerhetők. Az ábrán látható elektrosztatikus probléma numerikus megoldásának elvégzése során az elektrosztatikus potenciált közvetlenül az egyik fontos tulajdonsága alapján határoztuk meg: egy olyan tartományban, ahol nincs töltés (ebben az esetben a vezetők között), a potenciál értéke egy adott pontban a pont szomszédságában lévő potenciál értékeinek átlaga. Ez abból a tényből következik, hogy az elektrosztatikus potenciál egy töltésmentes tartományban a Laplace-egyenletnek engedelmeskedik, amely vektorszámítási jelöléssel div grad V = 0. Ez az egyenlet a Poisson-egyenlet div grad V = ρ speciális esete, amely olyan tartományok elektrosztatikus problémáira alkalmazható, ahol a térfogati töltéssűrűség ρ. A Laplace-egyenlet kimondja, hogy a potenciál gradiensének divergenciája nulla a tér töltésmentes tartományaiban. A 7. ábra példájában a vezetőkön a potenciál állandó marad. A potenciál tetszőleges értékeit kezdetben az üreg belsejében máshol rendeljük hozzá. A megoldáshoz a számítógép minden olyan koordinátapontban, amely nem egy vezetőn van, a potenciált az adott pont körüli potenciálértékek átlagával helyettesíti; a teljes ponthalmazt sokszor végigpásztázza, amíg a potenciálok értékei nem különböznek egymástól olyan kis mértékben, amely elég kicsi ahhoz, hogy kielégítő megoldást jelezzen. Nyilvánvaló, hogy minél nagyobb a pontok száma, annál pontosabb lesz a megoldás. A számítási idő, valamint a számítógép memóriaigénye azonban gyorsan nő, különösen a bonyolult geometriájú háromdimenziós problémák esetén. Ezt a megoldási módszert “relaxációs” módszernek nevezik.

számtani megoldás

7. ábra: Numerikus megoldás a 6. ábrán látható elektródkonfigurációra. Az elektrosztatikus potenciálok voltban vannak megadva (lásd a szöveget).

A Michigan Állami Egyetem Fizikai és Csillagászati Tanszékének jóvoltából

A 8. ábrán azonos értékű elektromos potenciállal rendelkező pontokat kapcsoltunk össze, hogy felfedezzük a vezetőkkel kapcsolatos számos fontos tulajdonságot statikus helyzetekben. Az ábrán a vonalak ekvipotenciális felületeket ábrázolnak. Két ekvipotenciális felület közötti távolság megmondja, hogy milyen gyorsan változik a potenciál, a legkisebb távolságok a legnagyobb sebességű változás helyének és így az elektromos tér legnagyobb értékeinek felelnek meg. A +20 és +15 voltos ekvipotenciális felületeket vizsgálva azonnal megfigyelhető, hogy a derékszögű vezető éles külső sarkainál vannak egymáshoz a legközelebb. Ez azt mutatja, hogy a töltött vezető felületén a legerősebb elektromos mezők a vezető legélesebb külső részein találhatók; az elektromos meghibásodások nagy valószínűséggel ott következnek be. Azt is meg kell jegyezni, hogy az elektromos mező a belső sarkokban a leggyengébb, mind a derékszögű darab belső sarkán, mind a négyzetes burkolat belső sarkaiban.

egyenértékfelület

8. ábra: Egyenértékfelületek.

A Michigan Állami Egyetem Fizikai és Csillagászati Tanszékének jóvoltából

A 9. ábrán szaggatott vonalak jelzik az elektromos tér irányát. A mező erősségét e szaggatott vonalak sűrűsége tükrözi. Ismét látható, hogy a mező a töltött L alakú vezető külső sarkainál a legerősebb; a legnagyobb felületi töltéssűrűségnek ezeken a helyeken kell jelentkeznie. A mező a belső sarkokban a leggyengébb. A vezetőfelületeken lévő töltések előjele levezethető abból a tényből, hogy az elektromos mezők a pozitív töltésektől elfelé, a negatív töltések felé mutatnak. A vezetőkön a σ felületi töltéssűrűség nagyságát négyzetméterenként coulombban mérjük, és amegadja, ahol ε0 a szabad tér áteresztőképessége, és értéke 8,854 × 10-12 coulombnégyzet newtonnégyzetméterenként. Ezenkívül ε0 a Coulomb-törvényben szereplő k állandóval a

elektromos térvonalak

kapcsolatban áll:

9. ábra: Elektromos térvonalak. A szaggatott vonalak sűrűsége a térerősséget jelzi (lásd a szöveget).

A Michigan Állami Egyetem Fizika és Csillagászat Tanszékének jóvoltából

A 9. ábra az elektromos tér egy fontos tulajdonságát is szemlélteti statikus helyzetekben: a mezővonalak mindig merőlegesek az ekvipotenciális felületekre. A mezővonalak derékszögben találkoznak a vezetők felületeivel, mivel ezek a felületek szintén ekvipotenciálisok. A 10. ábra kiegészíti ezt a példát azzal, hogy egy kis pozitív q töltés potenciális energiatájképét mutatja a régióban. A potenciális energia változásából könnyen elképzelhető, hogy az elektromos erők hogyan hajlamosak a q pozitív töltést magasabb potenciálról alacsonyabbra hajtani – azaz a +20 voltos feszültségű L alakú tartóból a négyzet alakú burkolat felé a földre (0 volt) vagy a -20 voltos potenciálon tartott hengeres rúd felé. Grafikusan is megjeleníti az erő erősséget a vezető elektródák éles sarkai közelében.

potenciális energia

10. ábra: Potenciális energia pozitív töltéshez (lásd a szöveget).

A Michigani Állami Egyetem Fizika és Csillagászat Tanszékének jóvoltából

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé.