電位から電場を導く

電場については、電荷にかかる力としてすでに説明したとおりです。 空間の各点での電位がわかれば、電位から電界を導出することができます。 ベクトル計算の表記法では、電位勾配の負値E=-grad Vで表され、ある点での電場の計算方法が規定されます。 電場はベクトルであるため、方向と大きさがあります。 方向とは、電位が最も速く減少する方向で、点から遠ざかる方向です。

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電位をよりよく理解するために、電極の2次元配置について数値的に決定した解を提示します。 長い円形の導体棒は-20ボルトの電位に保たれている。 その隣には、同じく導電材料でできたL字型の長いブラケットがあり、電位は+20ボルトに保たれている。 棒も金具も、断面が四角い中空の長い金属管の中に入っており、この管の電位はゼロ(つまり接地電位)である。 図6に問題の形状を示す。 静的な状況なので、導体の材料内部には電場がない。 もし、そのような電界があれば、導体材料内で自由に動く電荷は、平衡に達するまでそうするだろう。 電荷は、導体材料内部の点での電界に対する個々の寄与を足すとゼロになるように配置されている。 静的平衡状態では、過剰な電荷は導体の表面に存在する。 603>

電極配置

図6: 電極の配置。

Courtesy of the Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

図7では、問題の数値解が空洞内部の多数の点での電位を与えています。 20ボルトと-20ボルトの電極の位置は容易に認識できる。 図中の静電問題の数値解法では、電荷のない領域(この場合は導体間)では、ある点の電位の値はその点の近傍の電位の値の平均であるという重要な性質を利用して、静電電位を直接決定しています。 この式は、体積電荷密度がρの領域での静電問題に適用されるポアソン方程式div grad V = ρの特殊例で、電荷のない空間領域では電位の勾配の発散がゼロであることがラプラス方程式で示されているのである。 図7の例では、導体上のポテンシャルは一定である。 空洞内の他の場所には、初期状態で任意のポテンシャルが割り当てられている。 コンピュータは、導体上以外の各座標点の電位を、その点の周囲の電位の平均値に置き換え、電位の値の差が十分小さくなるまで何度もスキャンして、解を求めることができる。 点数が多ければ多いほど、より正確な解が得られることは明らかである。 しかし、特に複雑な形状を持つ3次元の問題では、計算時間や必要なメモリ容量が急激に増加する。

numerical solution

Figure 7: Figure 6 の電極配置の数値解法。 静電ポテンシャルはボルト単位(本文参照)。

Courtesy of the Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

図8では、同じ値の電位を持つ点が接続されて、静的状況での導体に関連する多くの重要な特性が明らかにされている。 図中の線は等電位面を表している。 2つの等電位面間の距離は、電位の変化の速さを表し、距離が小さいほど変化の速さが大きく、電界の値が大きいことに対応します。 20ボルトと15ボルトの等電位面を見ると、直角導体の鋭角な外側の角で最も接近していることがすぐに分かる。 これは、帯電した導体の表面で最も電界が強いのは、導体の外側の鋭角な部分であり、そこで電気的な破壊が起こりやすいことを示している。 また、直角の片の内側の角でも、正方形の囲いの内側の角でも、内側の角で電界が最も弱いことにも注目したい。

等電位面

図8:等電位面。

提供:ミシガン州立大学物理学・天文学科

図9の破線は電場の方向を示している。 電界の強さはこの破線の密度によって反映される。 ここでも、帯電したL字型導体の外側の角で電界が最も強くなっていることがわかりますが、これは、その位置で表面電荷密度が最も大きくなっているためです。 内側の角では電界が最も弱くなる。 導体表面の電荷の符号は、電界が正の電荷から遠ざかり、負の電荷に向かうことから推測することができる。 導体の表面電荷密度σの大きさは、1メートル平方あたりのクーロンで測られ、で与えられる。ここでε0は自由空間の誘電率と呼ばれ、ニュートン平方メートルあたり8.854 × 10-12 クーロンの平方という値を持っている。 また、ε0はクーロンの法則の定数kと

電場線

図9:電場線の関係。 破線の密度は電界の強さを示している(本文参照)

提供:ミシガン州立大学物理学・天文学科

また図9は、静的状況における電界の重要な特性を示している:電線は常に等電位面に直角である。 電界線は常に等電位面に垂直です。電界線は導体の表面と直角に接し、これらの表面も等電位であるためです。 図10は、この領域で小さな正電荷qのポテンシャルエネルギー風景を示すことで、この例を完成させたものです。 電位差の変化から、正電荷qが電気力によって高電位から低電位に向かう傾向、すなわち、+20ボルトのL字金具から接地(0ボルト)の四角い囲い、あるいは-20ボルトの電位に保たれた円筒棒に向かう傾向が容易に想像されます。

位置エネルギー

図10:正電荷の位置エネルギー(本文参照)

提供:ミシガン州立大学物理天文学科

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