Elektrisch veld afleiden uit potentiaal

Het elektrisch veld is reeds beschreven in termen van de kracht op een lading. Indien de elektrische potentiaal in elk punt van een ruimtegebied bekend is, kan het elektrisch veld uit de potentiaal worden afgeleid. In vectorrekeningnotatie wordt het elektrisch veld gegeven door het negatief van de gradiënt van de elektrische potentiaal, E = -grad V. Deze uitdrukking geeft aan hoe het elektrisch veld in een gegeven punt wordt berekend. Daar het veld een vector is, heeft het zowel een richting als een grootte. De richting is die waarin de potentiaal het snelst afneemt, weg van het punt. De grootte van het veld is de verandering in potentiaal over een kleine afstand in de aangegeven richting gedeeld door die afstand.

Britannica Quiz
Electricity: Short Circuits & Direct Currents
Wat is het verschil tussen een elektrische geleider en een isolator? Wie heeft de batterij uitgevonden? Voel je cellen branden terwijl je je mentale batterij oplaadt door de vragen in deze quiz te beantwoorden.

Om meer vertrouwd te raken met de elektrische potentiaal, wordt een numeriek bepaalde oplossing gepresenteerd voor een tweedimensionale configuratie van elektroden. Een lange, cirkelvormige geleidende staaf wordt op een elektrisch potentiaal van -20 volt gehouden. Naast de staaf wordt een lange L-vormige beugel, eveneens van geleidend materiaal, op een potentiaal van +20 volt gehouden. Zowel de staaf als de beugel zijn geplaatst in een lange, holle metalen buis met een vierkante doorsnede; deze omhulling staat op een potentiaal van nul (d.w.z. op “aardpotentiaal”). Figuur 6 toont de geometrie van het probleem. Omdat de situatie statisch is, is er geen elektrisch veld in het materiaal van de geleiders. Als er zo’n veld was, zouden de ladingen die vrij kunnen bewegen in een geleidend materiaal, dat doen tot er een evenwicht is bereikt. De ladingen zijn zo gerangschikt dat hun individuele bijdragen aan het elektrisch veld op punten binnenin het geleidend materiaal opgeteld nul zijn. In een situatie van statisch evenwicht bevinden de overtollige ladingen zich aan het oppervlak van geleiders. Omdat er binnen het geleidende materiaal geen elektrische velden zijn, bevinden alle delen van een gegeven geleider zich op dezelfde potentiaal; vandaar dat een geleider in een statische situatie een equipotentiaal is.

elektrodeconfiguratie

Figuur 6: Elektrodeconfiguratie.

Met dank aan het Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

In figuur 7 geeft de numerieke oplossing van het probleem de potentiaal op een groot aantal punten binnen de holte. De plaatsen van de +20-volt en -20-volt elektroden kunnen gemakkelijk worden herkend. Bij de numerieke oplossing van het elektrostatische probleem in de figuur werd de elektrostatische potentiaal rechtstreeks bepaald door middel van een van zijn belangrijke eigenschappen: in een gebied waar geen lading is (in dit geval tussen de geleiders), is de waarde van de potentiaal op een gegeven punt het gemiddelde van de waarden van de potentiaal in de buurt van het punt. Dit volgt uit het feit dat de elektrostatische potentiaal in een ladingvrij gebied gehoorzaamt aan de vergelijking van Laplace, die in vectorrekeningnotatie div grad V = 0 is. Deze vergelijking is een speciaal geval van de vergelijking van Poisson div grad V = ρ, die van toepassing is op elektrostatische problemen in gebieden waar de volumeladingsdichtheid ρ is. De vergelijking van Laplace stelt dat de divergentie van de gradiënt van de potentiaal nul is in gebieden van de ruimte zonder lading. In het voorbeeld van figuur 7 blijft de potentiaal op de geleiders constant. Aanvankelijk worden elders in de holte willekeurige waarden van de potentiaal toegekend. Om een oplossing te verkrijgen vervangt een computer de potentiaal op elk coördinaatpunt dat zich niet op een geleider bevindt door het gemiddelde van de waarden van de potentiaal rond dat punt; hij doorloopt de volledige reeks punten vele malen totdat de waarden van de potentiëlen verschillen met een hoeveelheid die klein genoeg is om een bevredigende oplossing aan te geven. Het is duidelijk dat hoe groter het aantal punten is, hoe nauwkeuriger de oplossing zal zijn. De rekentijd en het benodigde computergeheugen nemen echter snel toe, vooral bij driedimensionale problemen met een complexe geometrie. Deze oplossingsmethode wordt de “relaxatie”-methode genoemd.

numerieke oplossing

Figuur 7: Numerieke oplossing voor de in figuur 6 getoonde elektrodenconfiguratie. De elektrostatische potentialen zijn in volt (zie tekst).

Met dank aan het Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

In figuur 8 zijn punten met dezelfde waarde van de elektrische potentiaal met elkaar verbonden om een aantal belangrijke eigenschappen te onthullen die geassocieerd worden met geleiders in statische situaties. De lijnen in de figuur stellen equipotentiaalvlakken voor. De afstand tussen twee equipotentiaalvlakken vertelt hoe snel de potentiaal verandert, waarbij de kleinste afstanden overeenkomen met de plaats van de grootste veranderingssnelheid en dus met de grootste waarden van het elektrisch veld. Wanneer men de equipotentiaalvlakken van +20 en +15 volt bekijkt, merkt men onmiddellijk op dat deze het dichtst bij elkaar liggen bij de scherpe buitenhoeken van de rechthoekige geleider. Hieruit blijkt dat de sterkste elektrische velden op het oppervlak van een geladen geleider worden gevonden op de scherpste uitwendige delen van de geleider; elektrische storingen zullen daar het meest waarschijnlijk optreden. Ook moet worden opgemerkt dat het elektrische veld het zwakst is in de binnenhoeken, zowel op de binnenhoek van het rechthoekige stuk als op de binnenhoeken van de vierkante behuizing.

equipotentiaaloppervlak

Figuur 8: Equipotentiaaloppervlakken.

Met dank aan het Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

In figuur 9 geven de stippellijnen de richting van het elektrische veld aan. De sterkte van het veld wordt weergegeven door de dichtheid van deze stippellijnen. Ook hier is te zien dat het veld het sterkst is op de buitenhoeken van de geladen L-vormige geleider; de grootste oppervlakteladingsdichtheid moet op die plaatsen voorkomen. Het veld is het zwakst in de binnenhoeken. De tekens van de ladingen op de geleidende oppervlakten kunnen uit het feit worden afgeleid dat de elektrische velden weg van positieve ladingen en naar negatieve ladingen wijzen. De grootte van de oppervlakteladingsdichtheid σ op de geleiders wordt gemeten in coulomb per vierkante meter en wordt gegeven doorwaar ε0 de permittiviteit van de vrije ruimte wordt genoemd en de waarde heeft van 8,854 × 10-12 coulomb in het kwadraat per newton-vierkante meter. Bovendien is ε0 gerelateerd aan de constante k in de wet van Coulomb door

elektrische veldlijnen

Figuur 9: Elektrische veldlijnen. De dichtheid van de stippellijnen geeft de sterkte van het veld aan (zie tekst).

Met dank aan het Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

Figuur 9 illustreert ook een belangrijke eigenschap van een elektrisch veld in statische situaties: veldlijnen staan altijd loodrecht op equipotentiaaloppervlakken. De veldlijnen ontmoeten de oppervlakken van de geleiders onder rechte hoeken, aangezien deze oppervlakken ook equipotentiaal zijn. Figuur 10 vult dit voorbeeld aan met het potentiële energielandschap van een kleine positieve lading q in het gebied. Uit de variatie in potentiële energie is gemakkelijk af te leiden hoe de elektrische krachten de positieve lading q van een hoger naar een lager potentiaal drijven – d.w.z. van de L-vormige steun bij +20 volt naar de vierkantvormige omhulling bij aarde (0 volt) of naar de cilindrische staaf die op een potentiaal van -20 volt wordt gehouden. Het geeft ook grafisch de kracht weer nabij de scherpe hoeken van geleidende elektroden.

potentiële energie

Figuur 10: Potentiële energie voor een positieve lading (zie tekst).

Met dank aan het Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.