Wyznaczanie pola elektrycznego z potencjału

Pole elektryczne zostało już opisane w kategoriach siły działającej na ładunek. Jeśli potencjał elektryczny jest znany w każdym punkcie przestrzeni, pole elektryczne może być wyprowadzone z potencjału. W notacji rachunku wektorowego, pole elektryczne jest określone przez ujemną wartość gradientu potencjału elektrycznego, E = -grad V. Wyrażenie to określa sposób obliczania pola elektrycznego w danym punkcie. Ponieważ pole jest wektorem, ma ono zarówno kierunek jak i wielkość. Kierunek to ten, w którym potencjał maleje najszybciej, oddalając się od punktu. Wielkość pola to zmiana potencjału na małej odległości we wskazanym kierunku podzielona przez tę odległość.

Britannica Quiz
Elektryczność: Short Circuits & Direct Currents
Jaka jest różnica między przewodnikiem elektrycznym a izolatorem? Kto wynalazł baterię? Poczuj, jak twoje komórki płoną, gdy ładujesz swoją mentalną baterię, odpowiadając na pytania w tym quizie.

Aby lepiej poznać potencjał elektryczny, przedstawiono numerycznie wyznaczone rozwiązanie dla dwuwymiarowej konfiguracji elektrod. Długi, okrągły pręt przewodzący prąd jest utrzymywany przy potencjale elektrycznym -20 V. Obok pręta, długi wspornik w kształcie litery L, również wykonany z materiału przewodzącego, jest utrzymywany przy potencjale +20 V. Zarówno pręt, jak i wspornik są umieszczone wewnątrz długiej, pustej w środku metalowej rury o przekroju kwadratowym; w tej obudowie panuje potencjał zerowy (tzn. jest to potencjał „ziemi”). Rysunek 6 przedstawia geometrię problemu. Ponieważ sytuacja jest statyczna, nie ma pola elektrycznego wewnątrz materiału, z którego wykonane są przewodniki. Gdyby takie pole istniało, ładunki, które mogą się swobodnie poruszać w materiale przewodzącym, poruszałyby się tak długo, aż osiągnięta zostałaby równowaga. Ładunki są tak rozmieszczone, że ich indywidualne wkłady do pola elektrycznego w punktach wewnątrz materiału przewodzącego sumują się do zera. W sytuacji równowagi statycznej nadmiar ładunków znajduje się na powierzchni przewodników. Ponieważ wewnątrz materiału przewodzącego nie ma pól elektrycznych, wszystkie części danego przewodnika mają ten sam potencjał; stąd, przewodnik jest ekwipotencjalny w sytuacji statycznej.

konfiguracja elektrody

Rysunek 6: Konfiguracja elektrody.

Dzięki uprzejmości Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

Na rysunku 7, numeryczne rozwiązanie problemu podaje potencjał w dużej liczbie punktów wewnątrz wnęki. Położenie elektrod +20 V i -20 V można łatwo rozpoznać. Podczas numerycznego rozwiązywania problemu elektrostatycznego na rysunku, potencjał elektrostatyczny został wyznaczony bezpośrednio na podstawie jednej z jego ważnych właściwości: w obszarze, w którym nie ma ładunku (w tym przypadku pomiędzy przewodnikami), wartość potencjału w danym punkcie jest średnią wartości potencjału w sąsiedztwie tego punktu. Wynika to z faktu, że potencjał elektrostatyczny w regionie pozbawionym ładunku spełnia równanie Laplace’a, które w notacji rachunku wektorowego brzmi div grad V = 0. Równanie to jest szczególnym przypadkiem równania Poissona div grad V = ρ, które ma zastosowanie do problemów elektrostatycznych w regionach, w których gęstość ładunku objętościowego wynosi ρ. Równanie Laplace’a mówi, że dywergencja gradientu potencjału wynosi zero w regionach przestrzeni pozbawionych ładunku. W przykładzie przedstawionym na rysunku 7 potencjał na przewodnikach pozostaje stały. Arbitralne wartości potencjału są początkowo przypisane w innych miejscach wnęki. Aby uzyskać rozwiązanie, komputer zastępuje potencjał w każdym punkcie współrzędnych, który nie znajduje się na przewodniku, średnią wartością potencjału wokół tego punktu; skanuje cały zbiór punktów wiele razy, aż wartości potencjałów różnią się o wartość wystarczająco małą, aby wskazać zadowalające rozwiązanie. Jest oczywiste, że im większa liczba punktów, tym dokładniejsze będzie rozwiązanie. Jednak czas obliczeń, jak również wymagana wielkość pamięci komputera szybko rosną, szczególnie w przypadku problemów trójwymiarowych o złożonej geometrii. Ten sposób rozwiązania nazywany jest metodą „relaksacyjną”.

rozwiązanie numeryczne

Rysunek 7: Rozwiązanie numeryczne dla konfiguracji elektrod pokazanej na rysunku 6. Potencjały elektrostatyczne są w woltach (patrz tekst).

Dzięki uprzejmości Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

Na rysunku 8, punkty o tej samej wartości potencjału elektrycznego zostały połączone w celu ujawnienia kilku ważnych właściwości związanych z przewodnikami w sytuacjach statycznych. Linie na rysunku reprezentują powierzchnie ekwipotencjalne. Odległość pomiędzy dwoma ekwipotencjalnymi powierzchniami mówi, jak szybko zmienia się potencjał, przy czym najmniejsze odległości odpowiadają miejscu o największej szybkości zmian, a tym samym największym wartościom pola elektrycznego. Patrząc na powierzchnie ekwipotencjalne +20 V i +15 V od razu zauważamy, że są one najbliżej siebie na ostrych zewnętrznych rogach przewodnika prostokątnego. Wynika z tego, że najsilniejsze pola elektryczne na powierzchni naładowanego przewodnika występują na najostrzejszych zewnętrznych częściach przewodnika; tam najczęściej dochodzi do przebić elektrycznych. Należy również zauważyć, że pole elektryczne jest najsłabsze w narożnikach wewnętrznych, zarówno na wewnętrznym narożniku elementu prostopadłego, jak i na wewnętrznych narożnikach kwadratowej obudowy.

powierzchnia ekwipotencjalna

Rysunek 8: Powierzchnie ekwipotencjalne.

Dzięki uprzejmości Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

Na rysunku 9 linie przerywane wskazują kierunek pola elektrycznego. Natężenie pola jest odzwierciedlone przez gęstość tych linii przerywanych. Ponownie widać, że pole jest najsilniejsze na zewnętrznych rogach naładowanego przewodnika w kształcie litery L; w tych miejscach musi występować największa gęstość ładunku powierzchniowego. Pole jest najsłabsze w narożnikach wewnętrznych. Znaki ładunków na powierzchniach przewodzących można wywnioskować z faktu, że pola elektryczne skierowane są od ładunków dodatnich i w kierunku ładunków ujemnych. Wielkość gęstości ładunku powierzchniowego σ na przewodnikach mierzona jest w kulombach na metr kwadratowy i dana jest wzoremgdzie ε0 nazywana jest przenikalnością swobodnej przestrzeni i ma wartość 8,854 × 10-12 kulombów na niutonometr kwadratowy. Ponadto ε0 jest związane ze stałą k w prawie Coulomba przez

linie pola elektrycznego

Rysunek 9: Linie pola elektrycznego. Gęstość linii przerywanych wskazuje natężenie pola (patrz tekst).

Dzięki uprzejmości Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

Rysunek 9 ilustruje również ważną własność pola elektrycznego w sytuacjach statycznych: linie pola są zawsze prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych. Linie pola spotykają się z powierzchniami przewodników pod kątem prostym, ponieważ te powierzchnie również są ekwipotencjalne. Rysunek 10 uzupełnia ten przykład, pokazując krajobraz energii potencjalnej małego ładunku dodatniego q w tym regionie. Na podstawie zmian energii potencjalnej można łatwo wyobrazić sobie, w jaki sposób siły elektryczne mają tendencję do przesuwania ładunku dodatniego q od wyższego do niższego potencjału – tj. od wspornika w kształcie litery L o napięciu +20 V w kierunku kwadratowej obudowy przy ziemi (0 V) lub w kierunku cylindrycznego pręta utrzymywanego przy potencjale -20 V. Pokazuje również graficznie siłę w pobliżu ostrych narożników elektrod przewodzących.

energia potencjalna

Rysunek 10: Energia potencjalna dla ładunku dodatniego (patrz tekst).

Dzięki uprzejmości Wydziału Fizyki i Astronomii, Michigan State University

.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.