Derivar o campo eléctrico do potencial

O campo eléctrico já foi descrito em termos da força sobre uma carga. Se o potencial elétrico é conhecido em cada ponto de uma região do espaço, o campo elétrico pode ser derivado do potencial. Na notação de cálculo vetorial, o campo elétrico é dado pelo negativo do gradiente do potencial elétrico, E = -grad V. Esta expressão especifica como o campo elétrico é calculado em um determinado ponto. Como o campo é um vetor, ele tem tanto uma direção quanto uma magnitude. A direção é aquela em que o potencial decresce mais rapidamente, afastando-se do ponto. A magnitude do campo é a mudança do potencial através de uma pequena distância na direção indicada dividida por essa distância.

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Para se familiarizar mais com o potencial eléctrico, é apresentada uma solução determinada numericamente para uma configuração bidimensional de eléctrodos. Uma haste condutora longa e circular é mantida com um potencial elétrico de -20 volts. Ao lado da haste, um suporte longo em forma de L, também feito de material condutor, é mantido com um potencial de +20 volts. Tanto a haste quanto o suporte são colocados dentro de um tubo longo e oco de metal com seção transversal quadrada; este invólucro está com potencial zero (ou seja, está com potencial “aterrado”). A Figura 6 mostra a geometria do problema. Como a situação é estática, não há campo elétrico no interior do material dos condutores. Se existisse tal campo, as cargas que estão livres para se moverem num material condutor o fariam até que o equilíbrio fosse alcançado. As cargas são organizadas de modo que suas contribuições individuais ao campo elétrico em pontos dentro do material condutor somem até zero. Em uma situação de equilíbrio estático, as cargas em excesso estão localizadas na superfície dos condutores. Como não existem campos elétricos dentro do material condutor, todas as partes de um determinado condutor estão no mesmo potencial; portanto, um condutor é um equipotencial em uma situação estática.

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configuração do eletrodo

Figure 6: Configuração do eletrodo.

Cortesia do Departamento de Física e Astronomia, Michigan State University

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Na Figura 7, a solução numérica do problema dá o potencial em um grande número de pontos dentro da cavidade. As localizações dos eletrodos de +20 volts e -20 volts podem ser reconhecidas facilmente. Ao realizar a solução numérica do problema eletrostático na figura, o potencial eletrostático foi determinado diretamente através de uma de suas propriedades importantes: em uma região onde não há carga (neste caso, entre os condutores), o valor do potencial em um determinado ponto é a média dos valores do potencial na vizinhança do ponto. Isto decorre do fato de que o potencial eletrostático em uma região livre de carga obedece à equação de Laplace, que em notação de cálculo vetorial é div grad V = 0. Esta equação é um caso especial da equação de Poisson div grad V = ρ, que é aplicável a problemas eletrostáticos em regiões onde a densidade de carga volumétrica é ρ. A equação de Laplace afirma que a divergência do gradiente do potencial é zero em regiões do espaço sem carga. No exemplo da Figura 7, o potencial sobre os condutores permanece constante. Valores arbitrários de potencial são inicialmente atribuídos em outro lugar dentro da cavidade. Para obter uma solução, um computador substitui o potencial em cada ponto de coordenadas que não está sobre um condutor pela média dos valores do potencial em torno desse ponto; ele escaneia todo o conjunto de pontos muitas vezes até que os valores dos potenciais difiram por uma quantidade pequena o suficiente para indicar uma solução satisfatória. Claramente, quanto maior o número de pontos, mais precisa será a solução. O tempo de computação assim como a necessidade de memória do computador aumentam rapidamente, no entanto, especialmente em problemas tridimensionais com geometria complexa. Este método de solução é chamado método de “relaxamento”.

solução numérica

Figure 7: Solução numérica para a configuração do eletrodo mostrada na Figura 6. Os potenciais eletrostáticos estão em volts (ver texto).

Cortesia do Departamento de Física e Astronomia da Michigan State University

Na Figura 8, pontos com o mesmo valor de potencial elétrico foram conectados para revelar uma série de propriedades importantes associadas a condutores em situações estáticas. As linhas da figura representam superfícies equipotenciais. A distância entre duas superfícies equipotenciais indica a rapidez com que o potencial muda, com as menores distâncias correspondentes à localização da maior taxa de mudança e, portanto, aos maiores valores do campo elétrico. Olhando para as superfícies equipotenciais de +20 volts e +15 volts, observa-se imediatamente que elas estão mais próximas uma da outra nos cantos externos aguçados do condutor do ângulo reto. Isto mostra que os campos elétricos mais fortes na superfície de um condutor carregado são encontrados nas partes externas mais afiadas do condutor; as avarias elétricas são mais prováveis de ocorrer lá. Também deve ser notado que o campo elétrico é mais fraco nos cantos internos, tanto no canto interno da peça do ângulo reto como nos cantos internos do invólucro quadrado.

superfície equipotencial

Figure 8: Superfícies equipotenciais.

Cortesia do Departamento de Física e Astronomia, Michigan State University

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Na Figura 9, linhas tracejadas indicam a direção do campo elétrico. A força do campo é refletida pela densidade dessas linhas tracejadas. Novamente, pode-se ver que o campo é mais forte nos cantos externos do condutor em forma de L carregado; a maior densidade de carga superficial deve ocorrer nesses locais. O campo é mais fraco nos cantos internos. Os sinais das cargas nas superfícies condutoras podem ser deduzidos do fato de que os campos elétricos apontam para longe das cargas positivas e em direção às cargas negativas. A magnitude da densidade da carga superficial σ nos condutores é medida em coulombs por metro quadrado e é dada poronde ε0 é chamado de permissividade de espaço livre e tem o valor de 8,854 × 10-12 coulomb ao quadrado por newton-metro quadrado. Além disso, ε0 está relacionado com a constante k na lei Coulomb por

linhas de campo elétrico

Figure 9: Linhas de campo elétrico. A densidade das linhas tracejadas indica a força do campo (ver texto).

Cortesia do Departamento de Física e Astronomia da Michigan State University

Figure 9 também ilustra uma propriedade importante de um campo elétrico em situações estáticas: as linhas de campo são sempre perpendiculares a superfícies equipotenciais. As linhas de campo encontram-se com as superfícies dos condutores em ângulos rectos, uma vez que estas superfícies também são equipotenciais. A Figura 10 completa este exemplo mostrando a paisagem energética potencial de uma pequena carga positiva q na região. A partir da variação da energia potencial, é fácil imaginar como as forças elétricas tendem a conduzir a carga positiva q de um potencial maior para um menor – ou seja, do suporte em forma de L a +20 volts em direção ao recinto em forma de quadrado no solo (0 volts) ou em direção à haste cilíndrica mantida a um potencial de -20 volts. Também mostra graficamente a força de força perto dos cantos afiados dos eletrodos condutores.

energia potencial

Figure 10: Energia potencial para uma carga positiva (ver texto).

Cortesia do Departamento de Física e Astronomia, Michigan State University

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