Derivarea câmpului electric din potențial

Câmpului electric a fost deja descris în termeni de forță asupra unei sarcini. Dacă potențialul electric este cunoscut în fiecare punct dintr-o regiune a spațiului, câmpul electric poate fi derivat din potențial. În notația calculului vectorial, câmpul electric este dat de negativul gradientului potențialului electric, E = -grad V. Această expresie specifică modul în care se calculează câmpul electric într-un anumit punct. Deoarece câmpul este un vector, acesta are atât o direcție, cât și o mărime. Direcția este cea în care potențialul scade cel mai rapid, îndepărtându-se de punct. Magnitudinea câmpului este variația potențialului pe o distanță mică în direcția indicată, împărțită la acea distanță.

Britannica Quiz
Electricitate: Circuite scurte & Curenți direcți
Care este diferența dintre un conductor electric și un izolator? Cine a inventat bateria? Simțiți cum vă ard celulele în timp ce vă reîncărcați bateria mentală răspunzând la întrebările din acest test.

Pentru a vă familiariza mai bine cu potențialul electric, se prezintă o soluție determinată numeric pentru o configurație bidimensională de electrozi. O tijă conductoare lungă și circulară este menținută la un potențial electric de -20 volți. Alături de tijă, o consolă lungă în formă de L, de asemenea din material conductor, este menținută la un potențial de +20 volți. Atât tija, cât și suportul sunt plasate în interiorul unui tub metalic lung și gol, cu secțiune transversală pătrată; această incintă se află la un potențial zero (adică la potențialul de „masă”). Figura 6 prezintă geometria problemei. Deoarece situația este statică, nu există un câmp electric în interiorul materialului conductorilor. Dacă ar exista un astfel de câmp, sarcinile care sunt libere să se deplaseze într-un material conductor ar face acest lucru până la atingerea echilibrului. Încărcăturile sunt dispuse astfel încât contribuțiile lor individuale la câmpul electric în punctele din interiorul materialului conductor să se adune la zero. Într-o situație de echilibru static, sarcinile în exces se află pe suprafața conductorilor. Deoarece nu există câmpuri electrice în interiorul materialului conductor, toate părțile unui conductor dat se află la același potențial; prin urmare, un conductor este un echipotențial într-o situație statică.

Configurația electrozilor

Figura 6: Configurația electrozilor.

Prin amabilitatea Departamentului de Fizică și Astronomie, Michigan State University

În figura 7, soluția numerică a problemei oferă potențialul într-un număr mare de puncte din interiorul cavității. Locațiile electrozilor de +20-volți și -20-volți pot fi recunoscute cu ușurință. La realizarea soluției numerice a problemei electrostatice din figură, potențialul electrostatic a fost determinat direct cu ajutorul uneia dintre proprietățile sale importante: într-o regiune în care nu există sarcină (în acest caz, între conductori), valoarea potențialului într-un anumit punct este media valorilor potențialului din vecinătatea punctului. Acest lucru rezultă din faptul că potențialul electrostatic într-o regiune fără sarcină se supune ecuației lui Laplace, care în notația de calcul vectorial este div grad V = 0. Această ecuație este un caz special al ecuației lui Poisson div grad V = ρ, care se aplică problemelor electrostatice în regiuni în care densitatea de sarcină volumică este ρ. Ecuația lui Laplace afirmă că divergența gradientului potențialului este zero în regiunile din spațiu fără sarcină. În exemplul din figura 7, potențialul de pe conductori rămâne constant. Valorile arbitrare ale potențialului sunt atribuite inițial în altă parte în interiorul cavității. Pentru a obține o soluție, un calculator înlocuiește potențialul în fiecare punct de coordonate care nu se află pe un conductor cu media valorilor potențialului din jurul acelui punct; acesta scanează întregul set de puncte de mai multe ori până când valorile potențialelor diferă cu o valoare suficient de mică pentru a indica o soluție satisfăcătoare. În mod evident, cu cât numărul de puncte este mai mare, cu atât soluția va fi mai precisă. Cu toate acestea, timpul de calcul, precum și necesarul de memorie a calculatorului cresc rapid, în special în cazul problemelor tridimensionale cu geometrie complexă. Această metodă de rezolvare se numește metoda „relaxării”.

soluție numerică

Figura 7: Soluție numerică pentru configurația electrozilor prezentată în figura 6. Potențialele electrostatice sunt exprimate în volți (a se vedea textul).

Prin amabilitatea Departamentului de Fizică și Astronomie, Michigan State University

În figura 8, punctele cu aceeași valoare a potențialului electric au fost conectate pentru a evidenția o serie de proprietăți importante asociate cu conductorii în situații statice. Liniile din figură reprezintă suprafețe echipotențiale. Distanța dintre două suprafețe echipotențiale indică rapiditatea cu care se schimbă potențialul, cele mai mici distanțe corespunzând locului unde se înregistrează cea mai mare rată de schimbare și, prin urmare, celor mai mari valori ale câmpului electric. Privind suprafețele echipotențiale de +20 volți și +15 volți, se observă imediat că acestea sunt cele mai apropiate una de cealaltă la colțurile externe ascuțite ale conductorului în unghi drept. Acest lucru arată că cele mai puternice câmpuri electrice de pe suprafața unui conductor încărcat se găsesc pe cele mai ascuțite părți exterioare ale conductorului; acolo este cel mai probabil să apară defecțiuni electrice. De asemenea, trebuie remarcat faptul că câmpul electric este cel mai slab în colțurile interioare, atât pe colțul interior al piesei în unghi drept, cât și pe colțurile interioare ale incintei pătrate.

suprafață echipotențială

Figura 8: Suprafețe echipotențiale.

Prin amabilitatea Departamentului de Fizică și Astronomie, Michigan State University

În figura 9, liniile punctate indică direcția câmpului electric. Intensitatea câmpului este reflectată de densitatea acestor linii punctate. Din nou, se poate observa că câmpul este cel mai puternic în colțurile exterioare ale conductorului încărcat în formă de L; cea mai mare densitate de sarcină de suprafață trebuie să apară în acele locații. Câmpul este cel mai slab în colțurile interioare. Semnele sarcinilor de pe suprafețele conductoare pot fi deduse din faptul că câmpurile electrice se îndepărtează de sarcinile pozitive și se îndreaptă spre sarcinile negative. Magnitudinea densității de sarcină de suprafață σ pe conductoare se măsoară în coulombi pe metru pătrat și este dată deunde ε0 se numește permitivitatea spațiului liber și are valoarea de 8,854 × 10-12 coulombi pătrați pe metru pătrat de newton. În plus, ε0 este legată de constanta k din legea lui Coulomb prin

linii de câmp electric

Figura 9: Linii de câmp electric. Densitatea liniilor punctate indică intensitatea câmpului (vezi textul).

Prin amabilitatea Departamentului de Fizică și Astronomie, Michigan State University

Figura 9 ilustrează, de asemenea, o proprietate importantă a unui câmp electric în situații statice: liniile de câmp sunt întotdeauna perpendiculare pe suprafețele echipotențiale. Liniile de câmp întâlnesc suprafețele conductoarelor în unghiuri drepte, deoarece aceste suprafețe sunt de asemenea echipotențiale. Figura 10 completează acest exemplu arătând peisajul energiei potențiale a unei mici sarcini pozitive q în regiune. Din variația energiei potențiale, este ușor de imaginat modul în care forțele electrice tind să împingă sarcina pozitivă q de la un potențial mai mare la unul mai mic – de exemplu, de la suportul în formă de L la +20 volți spre incinta de formă pătrată la masă (0 volți) sau spre tija cilindrică menținută la un potențial de -20 volți. De asemenea, prezintă grafic intensitatea forței în apropierea colțurilor ascuțite ale electrozilor conductori.

energia potențială

Figura 10: Energia potențială pentru o sarcină pozitivă (vezi textul).

Prin amabilitatea Departamentului de Fizică și Astronomie, Michigan State University

.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.