Avleda det elektriska fältet från potentialen

Det elektriska fältet har redan beskrivits i termer av kraften på en laddning. Om den elektriska potentialen är känd i varje punkt i ett område i rymden kan det elektriska fältet härledas från potentialen. I vektorkalkylens notation ges det elektriska fältet av negationen av gradienten av den elektriska potentialen, E = -grad V. Detta uttryck anger hur det elektriska fältet beräknas i en given punkt. Eftersom fältet är en vektor har det både riktning och storlek. Riktningen är den i vilken potentialen minskar snabbast, bort från punkten. Storleken på fältet är förändringen av potentialen över ett litet avstånd i den angivna riktningen dividerat med detta avstånd.

Britannica Quiz
Elektricitet: Vad är skillnaden mellan en elektrisk ledare och en isolator? Vem uppfann batteriet? Känn hur dina celler brinner medan du laddar upp ditt mentala batteri genom att svara på frågorna i den här frågesporten.

För att bli mer bekant med den elektriska potentialen presenteras en numeriskt bestämd lösning för en tvådimensionell konfiguration av elektroder. En lång, cirkulär ledande stav hålls vid en elektrisk potential på -20 volt. Bredvid stången hålls en lång L-formad konsol, som också är tillverkad av ledande material, vid en potential på +20 volt. Både staven och fästet är placerade inuti ett långt, ihåligt metallrör med kvadratiskt tvärsnitt; denna inneslutning har en potential på noll (dvs. den är på ”jordpotential”). Figur 6 visar problemets geometri. Eftersom situationen är statisk finns det inget elektriskt fält i ledarnas material. Om det fanns ett sådant fält skulle de laddningar som är fria att röra sig i ett ledande material göra det tills jämvikt uppnås. Laddningarna är arrangerade så att deras individuella bidrag till det elektriska fältet vid punkter inuti det ledande materialet summerar till noll. I en situation med statisk jämvikt finns överskottsladdningar på ytan av ledare. Eftersom det inte finns några elektriska fält inne i det ledande materialet ligger alla delar av en given ledare på samma potential; därför är en ledare en ekvipotential i en statisk situation.

elektrodkonfiguration

Figur 6: Elektrodkonfiguration.

Med tillstånd av Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

I figur 7 ger den numeriska lösningen av problemet potentialen vid ett stort antal punkter inne i hålrummet. Platserna för +20-volts- och -20-voltselektroderna kan lätt kännas igen. Vid genomförandet av den numeriska lösningen av det elektrostatiska problemet i figuren bestämdes den elektrostatiska potentialen direkt med hjälp av en av dess viktiga egenskaper: i ett område där det inte finns någon laddning (i detta fall mellan ledarna) är värdet av potentialen i en given punkt medelvärdet av värdena av potentialen i närheten av punkten. Detta följer av det faktum att den elektrostatiska potentialen i ett område utan laddning lyder under Laplaces ekvation, som i vektorkalkyl är div grad V = 0. Denna ekvation är ett specialfall av Poissons ekvation div grad V = ρ, som är tillämplig på elektrostatiska problem i områden där volymelasttätheten är ρ. Laplaces ekvation anger att divergensen av potentialens gradient är noll i områden i rummet utan laddning. I exemplet i figur 7 förblir potentialen på ledarna konstant. Godtyckliga värden på potentialen tilldelas till en början på andra ställen i hålrummet. För att få fram en lösning ersätter en dator potentialen i varje koordinatpunkt som inte ligger på en ledare med medelvärdet av potentialvärdena runt den punkten. Den genomsöker hela uppsättningen punkter många gånger tills potentialvärdena skiljer sig åt med ett tillräckligt litet belopp för att indikera en tillfredsställande lösning. Det är uppenbart att ju större antalet punkter är, desto noggrannare blir lösningen. Beräkningstiden samt behovet av datorminne ökar dock snabbt, särskilt vid tredimensionella problem med komplex geometri. Denna lösningsmetod kallas relaxationsmetoden.

numerisk lösning

Figur 7: Numerisk lösning för elektrodkonfigurationen i figur 6. De elektrostatiska potentialerna är i volt (se text).

Med tillstånd av Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

I figur 8 har punkter med samma värde på den elektriska potentialen kopplats samman för att avslöja ett antal viktiga egenskaper som är förknippade med ledare i statiska situationer. Linjerna i figuren representerar equipotentialytor. Avståndet mellan två ekvipotentiella ytor talar om hur snabbt potentialen förändras, där de minsta avstånden motsvarar platsen för den största förändringshastigheten och därmed de största värdena av det elektriska fältet. När man tittar på de ekvipotentiella ytorna +20 volt och +15 volt ser man genast att de ligger närmast varandra vid de skarpa yttre hörnen på den rätvinkliga ledaren. Detta visar att de starkaste elektriska fälten på ytan av en laddad ledare finns på de skarpaste yttre delarna av ledaren; det är mest sannolikt att elektriska störningar inträffar där. Det bör också noteras att det elektriska fältet är svagast i de inre hörnen, både på det inre hörnet av det rätvinkliga stycket och på de inre hörnen av det fyrkantiga höljet.

equipotentialyta

Figur 8: Equipotentialytor.

Med tillstånd av Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

I figur 9 anger streckade linjer det elektriska fältets riktning. Styrkan hos fältet återspeglas av tätheten hos dessa streckade linjer. Återigen kan man se att fältet är starkast vid de yttre hörnen av den laddade L-formade ledaren; den största ytladdningstätheten måste förekomma på dessa platser. Fältet är svagast i de inre hörnen. Tecknen på laddningarna på de ledande ytorna kan härledas från det faktum att elektriska fält pekar bort från positiva laddningar och mot negativa laddningar. Storleken på ytladdningstätheten σ på ledarna mäts i coulomb per kvadratmeter och ges avdär ε0 kallas det fria rummets permittivitet och har värdet 8,854 × 10-12 coulomb i kvadrat per newton-kvadratmeter. Dessutom är ε0 relaterad till konstanten k i Coulombs lag genom

elektriska fältlinjer

Figur 9: Elektriska fältlinjer. Tätheten hos de streckade linjerna anger fältets styrka (se text).

Med tillstånd av Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

Figur 9 illustrerar också en viktig egenskap hos ett elektriskt fält i statiska situationer: fältlinjerna är alltid vinkelräta mot ekvipotenta ytor. Fältlinjerna möter ledarnas ytor i rät vinkel, eftersom dessa ytor också är ekvipotentiella. Figur 10 kompletterar detta exempel genom att visa det potentiella energilandskapet för en liten positiv laddning q i området. Utifrån variationen i potentiell energi är det lätt att föreställa sig hur elektriska krafter tenderar att driva den positiva laddningen q från högre till lägre potential – dvs. från den L-formade konsolen vid +20 volt mot det fyrkantiga höljet vid jord (0 volt) eller mot den cylindriska staven som hålls vid en potential på -20 volt. Den visar också grafiskt styrkan av kraften nära de skarpa hörnen på ledande elektroder.

potentialenergi

Figur 10: Potentialenergi för en positiv laddning (se text).

Med tillstånd av Department of Physics and Astronomy, Michigan State University

.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras.